この記事へのコメントです。
iPhone XSMax iPad Pro 11Apple Watch Series 4 Mac Book Pro Retina 15のメールAppでGmail 使用してるが問題ないが？
設定していたGmailアカウント5つ（個人用3つ、企業アカウント2つ）のうち1つがこれになった。企業アカウントの1つだったのでGmail側の設定によってはmacOS側が対応できてないのかも。
macOS 10.14.4にアップしてから、３つのGoogleアカウントのメールがオフライン状態になりました。１つのアカウントにパスを入力しましたが、ダイアログボックスが表示されオンラインになりませんでした。Googleメールの不具合と思ってましたが…。取り敢えずSafariから３つのGoogleアカウントにログイン、ログアウトを行ない、再度メールソフトで３つのオフラインメールにパスを入力しました。その後問題なくメールの送受信ができています。
MacOSMojaveをインストールすれば解決しました
私もGmailアカウント2つがおかしくなり、ID:450cdeさんの方法で元通りになりました。ID:743601さんの書き込みは、統合アップデートをって事なのか、新規インストールし直したという事なのか･･･ID: 26d0afさんは何と戦ってるんですかね？